2n位定点二进制数的极值与正非零最值技术问询

先明确我们的定点数格式：

• 总位数：2n位
• 整数部分：n位，其中1位符号位，剩下n-1位是整数数值位
• 小数部分：n位，全部是小数数值位（无符号位，符号由整数部分的符号位统一控制）

下面分情况逐一分析，重点帮你把小数部分的逻辑理清楚：

一、最大正非零数 #

要得到最大的正数，得让整数和小数部分都取最大可能值：

• 整数部分：符号位为0（表示正数），剩下n-1位整数数值位全为1，对应的整数数值是 2^(n-1) - 1（比如n=2时，整数位是01，对应数值1=2^(1)-1）
• 小数部分：n位全为1，对应的小数数值是 1 - 2^(-n)（这是等比数列求和的结果：第1位小数权重2^{-1，第2位2}-2...第n位2^-n，总和为 (1/2)*(1 - (1/2)^n)/(1 - 1/2) = 1 - 2^(-n)，比如n=2时，0.11=0.5+0.25=0.75=1-2^(-2)）

把两部分加起来，最大正非零数就是：
(2^(n-1) - 1) + (1 - 2^(-n)) = 2^(n-1) - 2^(-n)

举个例子：n=3（总位数6位），最大正非零数是 2^(2)-2^(-3)=4-0.125=3.875，对应二进制是 011.111，完全符合预期。

二、最小正非零数 #

要得到最小的正非零数，得让数值尽可能小且为正：

• 整数部分：符号位0，整数数值位全为0（整数部分为0）
• 小数部分：只有最右侧（最低位）的1位为1，其余全为0，对应的小数数值是 2^(-n)（比如n=2时，0.01=0.25=2^(-2)）

所以最小正非零数就是 2^(-n)，对应的二进制是 00...0.00...01（整数部分n位是前n-1个0+符号位0，小数部分是前n-1个0+最后1个1）

三、整体最大值（即最大正非零数） #

因为正数的最大值就是整个定点数能表示的最大数，所以整体最大值和上面的最大正非零数一致：2^(n-1) - 2^(-n)

四、整体最小值（最小的负数） #

要得到最负的数，得让整数和小数部分的绝对值都取最大，符号位为1（表示负数）：

• 整数部分：符号位1，整数数值位全为1，对应的整数绝对值是 2^(n-1)-1
• 小数部分：全为1，对应的小数绝对值是 1 - 2^(-n)

整体最小值就是 - (2^(n-1) - 2^(-n))，对应的二进制是 11...1.11...1（整数部分符号位1+数值位全1，小数部分全1）

补充：小数部分权重的快速理解 #

很多人对小数部分计算容易懵，其实逻辑和整数部分类似，只是权重是2的负次方：

• 整数部分从右到左（最低位到最高位）权重是2^0,21,...,2^(n-2)（因为符号位占了1位，数值位是n-1位）
• 小数部分从左到右（最高位到最低位）权重是2^(-1),2(-2),...,2^(-n)

记住这个权重对应关系，不管是计算单个小数位的数值，还是求和都很容易上手～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yoshiki