关于平均积分差值不等式的困惑及证明思路咨询

Hey folks! 我最近在研究Sobolev空间相关的积分不等式时卡壳好一阵了，完全摸不清下面这个不等式为什么成立，想请各位大佬帮忙梳理下证明思路~

具体问题是这样的：给定 $f \in W^{1,p}(B(x, R))$，我们需要证明：

$$
\left| \frac{1}{|B_{2^{-l}}(x)|} \int_{B_{2^{-l}}(x)} f - \frac{1}{|B_{2^{-l-1}}(x)|} \int_{B_{2^{-l-1}}(x)} f \right| \leq C (2^{-l}){-n} \int_{B_{2^{-l}}(x)} \left| f - \frac{1}{|B_{2^{-l}}(x)|} \int_{B_{2^{-l}}(x)} f \right|.
$$

我翻了不少相关的笔记和资料，还是找不到突破口，有没有人能给点提示或者一步步拆解下这个证明呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Document123