利用费马数的因数证明素数有无穷多个的证明是否成立？

这个证明是完全成立的，而且是个相当巧妙的证法！下面我们把相关内容梳理清楚：

Lucas定理 #

每个费马数 $F_n = 2^{2n} + 1$（$n > 1$）的素因数都形如 $k2^{n+2} + 1$。

待证定理 #

素数集合是无穷的。

证明过程 #

假设与之相反，素数只有有限个，我们把最大的素数记作 $p$。那么费马数 $F_p$ 必然是合数，因为 $F_p > p$（费马数增长极快，显然远大于给定的最大素数 $p$）。

根据Lucas定理，$F_p$ 一定有一个形如 $k2^{p+2} + 1$ 的素因数 $q$。我们来分析 $q$ 的大小：$k$ 是正整数，所以 $k2^{p+2} + 1 \geq 2^{p+2} + 1$，这个值显然远大于 $p$，哪怕 $p$ 是较小的素数也满足这个不等式，更别说假设中的“最大素数”了，因此 $q > p$。

这就和我们之前假设“$p$ 是最大的素数”矛盾了！因此原假设不成立，素数的集合必然是无穷的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pedja