三项级数定理推论相关问题：独立同分布Lᵖ随机变量序列的级数收敛性证明

问题 #

假设 $X, X_1, X_2, \ldots$ 是独立同分布的随机变量，且属于 $L^p$（其中 $1 < p < 2$）。证明级数 $\sum Y_n$ 收敛，其中 $Y_n=\frac{X_n − \mathbb{E}(X)}{n^{1/p}}$。

部分思路（待完善） #

这里我们没有有限方差，所以没法用Khintchine-Kolmogorov收敛定理。于是转向充要条件——Kolmogorov三项级数定理。不过我实在搞不懂该怎么验证这几个条件，比如：
$$
\sum \mathbb{P}(|Y_k|>1)= \sum \mathbb{P}(|X_k - \mathbb{E}[X]|> n^{1/p}) \leq \sum \frac{\mathbb{E}[|X-\mathbb{E}[X]|^p]}{n}
$$
这里我用了基于函数 $g(x) = x^p$ 的切比雪夫型不等式（实在想不到别的办法了），但右边的级数明显是发散的。有没有什么合适的上界能……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Simone Licciardi