关于迭代生成k元素数组及无限素数序列的存在性问询

这是个相当精妙的素数迭代问题，咱们一步步拆解来聊：

先明确核心问题 #

你提出了两个递进的问题：

1. 对每个正整数$k\in\mathbb{N}$，是否存在由$k$个素数组成的元组$(p_n){n=1}^k$，满足每个后续素数$p{n+1}$要么是$2p_n -1$，要么是$2p_n +1$？
2. 进一步，是否存在这样的无限长素数序列？

你还提到自己的观察：一开始很长时间找不到长度>2的元组，直到发现$p_1=331$时得到$(331,661,1321)$，疑惑这里面是不是有模算术的原因——没错，这里面确实有同余约束在起作用，咱们先从这一点说起。

模算术的约束：为什么很多路径会“断” #

拿模3的情况举例，就能解释你一开始找不到长元组的原因：

• 如果初始素数$p_1 \equiv 0 \mod 3$，那$p_1$只能是3（唯一的3的倍数素数）。接下来$p_2$可选$23-1=5$或$23+1=7$，都是素数；再下一步，$p_3$可选$25±1=9$（合数）或11（素数），或者$27±1=13$（都是素数），所以$(3,7,13)$就是长度3的元组。
• 如果$p_1 \equiv 1 \mod 3$，那么$2p_1+1 \equiv 21+1=0 \mod 3$——这意味着如果$p_1≥7$，$2p_1+1$就是大于3的3的倍数，必然是合数，所以你只能选$p_2=2p_1-1$，而$2p_1-1 \equiv 1 \mod 3$，接下来每一步都只能选减1的操作（选加1就会碰到3的倍数合数）。但这种单一路径很容易遇到合数，比如$p_1=7$，$27-1=13$（素数），但$2*13-1=25$（合数），序列就断了。
• 如果$p_1 \equiv 2 \mod 3$，那么$2p_1-1 \equiv 22-1=3 \equiv0 \mod3$，同样，$p_1≥5$时$2p_1-1$是大于3的3的倍数，必然是合数，所以只能选$p_2=2p_1+1$，而$2p_1+1 \equiv 2 \mod3$，接下来每一步也只能选加1的操作。比如$p_1=5$，$25+1=11$（素数），$211+1=23$（素数），$223+1=47$（素数），这样$(5,11,23,47)$就是长度4的元组。

你一开始没找到长元组，就是因为这些模算术约束把绝大多数初始素数的路径都堵死了，只有落在特定同余类的素数，才有机会生成更长的序列。

关于问题的答案现状 #

1. k元组的存在性：目前已知存在不少长度超过2的元组（比如你找到的$(331,661,1321)$，还有刚才提到的长度4的$(5,11,23,47)$），但要证明对任意k都存在这样的k元组，这仍然是一个开放问题。素数的分布虽然足够稠密，但这种强迭代约束下的存在性，目前还没有被严格证明。
2. 无限长序列的存在性：这个问题的难度更高，几乎可以肯定是开放问题。要让序列无限延伸，意味着每一步都要从$2p±1$中选到素数，而每一步可选的只有两个数——这种要求比已知的任何无限素数序列（比如等差数列素数序列）都苛刻，目前既没有这样的序列被构造出来，也没有证明它不存在。

和Collatz猜想的关联 #

你猜测和Collatz猜想有关，确实两者都是迭代序列问题，但目前没有已知的直接联系。Collatz猜想是针对所有自然数的多分支迭代，而这里只限制在素数上，操作是$2p±1$，和Collatz的$3n+1/2n$逻辑差异还是比较大的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam Rubinson