关于有限维k-代数张量积中理想交集的理想性及包含关系的疑问

嗨，我来帮你一步步梳理这两个问题，不用太纠结集合的具体形式，靠理想的基本性质就能解决～

首先解决第一个问题：证明 ( I = J \cap B ) 是 ( B ) 的双边理想。

这里需要先明确一个前提：我们讨论 ( A \otimes_k B ) 时，会把 ( B ) 通过自然单同态嵌入为张量积的子代数——也就是把 ( b \in B ) 对应到 ( 1_A \otimes b )（( 1_A ) 是 ( A ) 的单位元），这个映射是k-代数单射，所以可以把 ( B ) 和它在张量积中的像等同起来，( J \cap B ) 就是J中所有形如 ( 1_A \otimes b ) 的元素构成的集合。

现在用双边理想的定义验证：

• 任取 ( x \in I )（也就是 ( x \in J ) 且 ( x \in B )，即 ( x = 1_A \otimes b ) 且属于J），再任取 ( b' \in B )。
• 左乘情况：( b'x = (1_A \otimes b')(1_A \otimes b) = 1_A \otimes (b'b) )，这个元素显然属于 ( B )（是嵌入像的元素）；同时因为J是 ( A \otimes_k B ) 的双边理想，理想会吸收左乘的元素，所以 ( b'x \in J )，因此 ( b'x \in J \cap B = I )。
• 右乘情况：( xb' = (1_A \otimes b)(1_A \otimes b') = 1_A \otimes (bb') )，同理它属于 ( B )，且J吸收右乘元素，所以 ( xb' \in J )，因此 ( xb' \in I )。

这样就满足了双边理想的定义，完全不需要深挖I的具体元素构成。

接下来第二个问题：( A \otimes_k I \subset J ) 是成立的，理由如下：

• 任取 ( a \in A )，( x \in I )，可以把元素 ( a \otimes x ) 改写为 ( (a \otimes 1_B)(1_A \otimes x) )。
• 因为 ( x \in I = J \cap B )，所以 ( 1_A \otimes x \in J )；而 ( a \otimes 1_B ) 是 ( A \otimes_k B ) 中的元素，J作为双边理想，左乘张量积中的元素后仍属于J，所以 ( a \otimes x \in J )。
• ( A \otimes_k I ) 是所有这类 ( a \otimes x ) 元素的k-线性组合，而J作为k-代数的理想本身也是k-线性子空间，线性组合后的元素自然也在J里，因此整个 ( A \otimes_k I ) 包含于J。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wwwwww