关于线性方程组求解中两类列操作不被视为初等操作的技术问询

问题背景 #

给定线性方程组的矩阵形式 A𝐱=𝐛，其中A是m×n矩阵，有两个疑问：

1. 为什么移除A中属于其他列线性组合的列，会改变方程组的性质，且不被视为求解线性方程组的初等操作？
2. 如果省略A中的零列也不算初等操作，原因是什么？

用户补充：“我知道行的同类操作不会改变方程组的解。”

问题1：移除线性相关列为何不是初等操作 #

首先得抓住初等列操作的核心本质：它们都是可逆的线性变换，而且对应着对变量的“合法重定义”，完全不会改变方程组解的等价性。举几个直观例子：

• 交换两列 = 给两个变量换个名字而已；
• 某列乘非零常数 = 对应变量做个缩放变换；
• 某列的倍数加到另一列 = 做个变量的线性替换（比如令x₁' = x₁ + 2x₂）。

这些操作之后，新方程组的解和原方程组的解是一一对应的——你能通过逆变换把新解还原成原解，解空间的维度、存在性这些核心性质都没变。

但移除一列（哪怕是线性相关的列）就完全是另一回事：

• 这相当于直接删掉了一个变量，原方程组里这个变量可以由其他变量线性表示，但新方程组的解里根本没这个变量的信息，直接丢失了解的维度。比如原方程组的解是(x₁, x₂, x₃)，其中x₃ = 2x₁ + x₂，移除第三列后，新方程组的解只有(x₁, x₂)，没法直接还原出原解的完整信息；
• 更关键的是，这个操作是不可逆的——你没法通过任何初等操作把删掉的列加回去，还能还原原方程组的解结构；
• 它直接改变了方程组的“本质”：原方程组的解空间是n维空间的一个子集，新方程组的解空间却是n-1维空间的子集，两者结构天差地别，绝对算不上保持解等价的初等操作。

问题2：省略零列为何不是初等操作 #

先明确零列的意义：A里的零列对应某个变量xⱼ，在所有方程里xⱼ的系数都是0，也就是说方程组对xⱼ没有任何约束——xⱼ可以随便取，只要其他变量满足方程就行。

同样，初等列操作必须满足“可逆+保持解等价”，而省略零列完全不符合：

• 省略零列相当于丢了一个自由变量的信息，原方程组的解空间是新方程组解空间和一维空间（xⱼ任意）的直和，新方程组的解空间维度比原解空间少1，解的范围被“压缩”了，和原方程组的解不再等价；
• 这个操作也是不可逆的：你没法通过初等列操作把删掉的零列加回去，让解空间恢复到原来的维度；
• 另外，初等列操作的定义里根本没有“删除列”这一项——所有初等列操作都是对现有列做变换，不会减少列的数量，删除零列本质上就不属于初等操作的范畴。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者p0vi3