二元函数极限不存在性的判定方法及特定函数原点处极限存在性的咨询

我来梳理这个二元函数极限的判定问题，结合教授给出的思路补全完整逻辑：

问题背景 #

我们需要判断二元函数：
$$f(x, y) = \dfrac{x^n + y^n}{x2 - y^2} \quad (n > 2)$$
在定义域 $U = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \neq x, y \neq -x\right}$ 内，当 $(x,y) \to (0,0)$ 时极限是否存在。

核心判定思路：构造特殊路径证明极限不存在 #

二元函数极限存在的充要条件是：无论取任何趋近路径，函数值都趋近于同一个有限常数。反过来，只要找到两条路径使得极限不相等（或一条路径极限不存在/趋于无穷），就能证明原极限不存在。

教授给出的关键构造是一条非线性趋近路径，我们展开完整推导：

步骤1：构造特殊路径

令 $V = \left{(x, x + x^p) : x > 0\right}$，其中 $p > n - 1$。这条路径是从右侧趋近原点的曲线，$y$ 与 $x$ 的差是 $x$ 的高阶无穷小。

步骤2：代入函数计算路径上的函数值

将 $y = x + x^p$ 代入 $f(x,y)$：
$$
\begin{align*}
f(x, y) &= f\left(x, x + x^p\right) \
&= \dfrac{x^n + \left(x + x^p\right)n}{x^2 - \left(x + x^p\right)2} \
&= -\dfrac{x^n + \left(x + x^p\right)n}{\left(x + x^p\right)2 - x^2} \quad \text{（分母提取负号简化后续计算）} \
&= -\dfrac{x^n + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}(xp)^k}{2x \cdot x^p + (x^p)2} \quad \text{（分子用二项式定理展开，分母用平方差公式展开）} \
&= -\dfrac{x^n + x^n + nx^{n-1+p} + \binom{n}{2}x^{n-2+2p} + \dots + x^{np}}{2x{p+1} + x^{2p}}
\end{align*}
$$

步骤3：分析路径上的极限行为

因为 $p > n - 1$，我们只需要关注分子和分母的最低次项（当 $x \to 0^+$ 时，低次项主导函数值）：

• 分子的最低次项是 $2x^n$（来自前两项 $x^n + x^n$）
• 分母的最低次项是 $2x^{p+1}$

此时函数可以近似为：
$$
f(x,y) \approx -\dfrac{2x^n}{2x{p+1}} = -x^{n - (p+1)}
$$
由于 $p > n - 1$，则 $n - (p+1) = n - p - 1 < 0$，因此当 $x \to 0^+$ 时，$x^{n-p-1} \to +\infty$，即 $f(x,y) \to -\infty$。

步骤4：对比另一条简单路径的极限

我们再取一条常见的趋近路径：沿 $y = 0$ 趋近 $(0,0)$（该路径在定义域 $U$ 内，因为 $y=0 \neq \pm x$ 当 $x \neq 0$）：
$$
\lim_{x \to 0} f(x, 0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^n + 0}{x^2 - 0} = \lim_{x \to 0} x^{n-2}
$$
因为 $n > 2$，所以 $n-2 > 0$，这个极限等于 $0$。

最终结论 #

我们找到了两条趋近路径：

1. 沿 $y=0$ 趋近时，$f(x,y) \to 0$
2. 沿 $V = {(x, x + x^p) | x>0, p > n-1}$ 趋近时，$f(x,y) \to -\infty$

两条路径下的极限不相等，因此原函数在 $(x,y) \to (0,0)$ 时极限不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cyclotomic Manolo