有限群表示中同型分量的进一步分解相关技术问询

咱们来聊聊有限群正交/酉表示里，同型分量投影算子的相关内容：

设$(V,\rho)$是有限群$G$的正交（或酉）表示，假设和$V$同域上的$G$的不可约表示为$W_i$，对应的特征标为$\chi_i$。

我们可以把$V$分解为不可约表示的直和：
$$V \cong \bigoplus_{i=1}^mW_i{n_i}$$

其中$W_i^{n_i}$是$V$的第$i$个同型分量，而$V$到这个同型分量的投影算子$p_i$由下述公式给出：
$$p_i=\frac{\dim(W_i)}{\dim(\text{End}G(W_i))|G|}\sum{g\in G}\chi_i(g^{-1})\rho_g$$

（注：已修正原公式里的求和下标笔误，调整为$g\in G$以保证逻辑通顺）

这个公式同时适用于两种常见场景：

• 当基域是$\mathbb{C}$时，根据Schur引理，$\dim(\text{End}_G(W_i))=1$，公式会简化为复表示下的标准投影算子形式；
• 当基域是$\mathbb{R}$时，$\dim(\text{End}_G(W_i))$会根据不可约实表示的具体类型有所不同，需要结合实表示的分类来确定其取值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者khashayar