关于有理根定理在含大数多项式中应用的疑问

各位好，我一直以来都被一个问题困扰——有理根定理在处理系数很大的多项式因式分解时，实在太繁琐了！比如这个三次方程：

$$k^3 + 6k^2 -1171k -3828 =0$$

要是常数项和首项系数都比较小的话，因式分解还不算难，但碰到这种常数项特别大的情况，不用计算工具的话，试根的过程既耗时间又容易出错。

这类问题还经常出现在考试或者奥赛里，我至今都没找到除了暴力枚举之外更高效的方法，想问问大家有没有什么技巧可以避开这种 brute-force 的操作？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leonardo