有限域伽罗瓦群自同构作用下生成元的保持性证明问询

设$F$是特征为$p$的有限域，记$F^$为$F$中可逆元素构成的群。证明：若$a \in F^$是生成元，则对任意$\sigma \in \textrm{Gal}(F/F_p)$，$\sigma(a)$也是生成元。

我的目前思路：
由于$F$的特征为$p$，故存在$n \in \mathbb N$使得$|F^*|=pn-1$。对任意$\sigma \in \textrm{Gal}(F/F_p)$，有：
$$
(\sigma(a))^{pn-1}=\sigma(a^{pn-1})=\sigma(1)=1
$$
因此$\sigma(a)$的阶整除$p^n-1$，但……（原文未完成内容保留）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RatherAmusing