相关变化率与优化问题求解求助

嘿，你已经找对方向啦！用勾股定理建模是完全正确的，现在就差把时间函数明确建立起来，再用微积分找最小值这一步，我一步步给你拆解：

第一步：定义变量，建立总时间函数 #

先把图里的固定量和变量理清楚：

• 船到岸边的垂直距离是6km（固定）
• 你一开始在岸边，离船正对着的岸边点有8km（固定）
• 我们设船正对着的岸边点到你上岸点的距离为x km（这就是我们要优化的核心变量）

根据勾股定理，你划船的路程就是( \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36 + x^2} ) km，划船速度是2km/h，所以划船时间就是 ( \frac{\sqrt{36 + x^2}}{2} ) 小时；
上岸后你要跑步的距离是( 8 - x ) km，跑步速度是5km/h，所以跑步时间是 ( \frac{8 - x}{5} ) 小时。

把两者加起来，总时间( T(x) )（单位：小时）就是：

T(x) = (√(36 + x²))/2 + (8 - x)/5  （x的取值范围是0 ≤ x ≤ 8）

第二步：求导找时间最短的临界点 #

要找总时间的最小值，我们对( T(x) )求一阶导数，然后令导数为0，解出x的值：

1. 先算一阶导数：
   ( T'(x) = \frac{x}{2\sqrt{36 + x^2}} - \frac{1}{5} )
2. 令导数等于0，解方程：

x/(2√(36 + x²)) = 1/5

两边同时乘以( 10\sqrt{36 + x^2} )消去分母，得到：
( 5x = 2\sqrt{36 + x^2} )
为了去掉根号，两边平方（因为x是距离，肯定非负，平方后不会引入增根）：
( 25x^2 = 4(36 + x^2) )
展开后整理：
( 25x^2 = 144 + 4x^2 )
( 21x^2 = 144 )
( x^2 = \frac{144}{21} = \frac{48}{7} )
所以x的正根是：
( x = \sqrt{\frac{48}{7}} = \frac{4\sqrt{21}}{7} \approx 2.62 ) km

第三步：验证这是最小值点 #

我们可以用二阶导数来确认这个点是最小值点：
计算二阶导数( T''(x) = \frac{18}{(36 + x²⁾{3/2}} )，显然对于所有x≥0，这个值都是正的，说明函数在这个临界点处是下凸的，也就是这个点对应的是总时间的最小值。

简单来说，你从船正对着的岸边点出发，往自己初始位置的方向走约2.62km的位置上岸，就能让总时间最短啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ethan Barr