不同坐标系下偏微分方程解的等价性证明方法咨询

我一直有个疑问：二维波动方程可以在直角坐标系或者极坐标系下求解，我们能直接通过坐标变换推导出拉普拉斯算子的表达式，但这一步的合理性在解的层面也必须成立才行。我从来没见过有人具体证明——比如极坐标系和二维直角坐标系下的波动方程（或者其他任意偏微分方程）的解，实际上是完全匹配的。想来这可能是因为代数运算太繁琐了，但我真的很想知道该怎么完成这个证明。

对于更复杂的例子，可能需要用到偏微分方程解里出现的特殊函数恒等式，所以我选了二维波动方程当例子——在我看来这是最简单的非平凡测试案例。不过如果你有其他数学运算更简单的例子，也完全可以用它来明确证明：不同坐标系下某偏微分方程的解是等价的。

EDIT:
正如Kaikash给出的正确答案中所明确指出的，解...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sanjana