能否用指数函数精确复刻抛物线？求相关转换推导及问题解答

嘿，你的这个观察挺有意思的！你画的y = e^x + e^{-x}其实是双曲余弦函数（记为cosh(x)），它看起来和抛物线很像，但其实和抛物线是完全不同的函数，没法精确复刻抛物线哦。

为什么双曲余弦看起来像抛物线？ #

之所以视觉上相似，是因为在x=0附近，双曲余弦的泰勒展开式是：
$$\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ...$$
而如果取一个抛物线比如y = 1 + \frac{x^2}{2}，正好是它的前两项近似。所以在原点附近的小范围内，两者几乎重合，但当x的绝对值变大后，双曲余弦会呈指数级增长，而抛物线只是二次增长，两者的差距会越来越明显。

关于你朋友的解方程问题 #

你遇到的方程是：
$$3500 = 35t + \frac{420}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$$
你用欧拉公式把正弦转换成指数形式的思路是对的：
$$\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) = \frac{e^{i\frac{\pi t}{12}} - e^{-i\frac{\pi t}{12}}}{2i}$$
不过代入后得到的是包含虚数的表达式，而且这个方程是超越方程——它没法用初等代数方法求出精确解，只能通过数值方法来近似求解，这里给你演示一下牛顿迭代法的步骤：

1. 先把方程整理成标准形式：
   $$f(t) = 35t + \frac{420}{\pi} \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) - 3500 = 0$$
2. 求导得到导函数：
   $$f'(t) = 35 + \frac{420}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12} \cos\left(\frac{\pi t}{12}\right) = 35 + 35\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$$
3. 选初始迭代值：先忽略正弦项，由35t=3500得t=100，代入计算：
   • $f(100) = 35\times100 + \frac{420}{\pi}\sin\left(\frac{100\pi}{12}\right) - 3500 = \frac{420}{\pi}\sin\left(\frac{25\pi}{3}\right) \approx 114.59$
   • $f'(100) = 35 + 35\cos\left(\frac{25\pi}{3}\right) = 35 + 35\times\frac{1}{2} = 52.5$
4. 第一次迭代：
   $$t_1 = 100 - \frac{f(100)}{f'(100)} \approx 100 - \frac{114.59}{52.5} \approx 97.82$$
5. 第二次迭代（代入$t_1$）：
   • $f(97.82) \approx 35\times97.82 + \frac{420}{\pi}\sin\left(\frac{97.82\pi}{12}\right) - 3500 \approx -12.64$
   • $f'(97.82) \approx 35 + 35\cos\left(\frac{97.82\pi}{12}\right) \approx 68.29$
   • $t_2 = 97.82 - \frac{-12.64}{68.29} \approx 98.005$

这时候$f(t_2)$已经非常接近0了，所以t≈98就是一个足够精确的近似解。

总结一下：双曲余弦和抛物线没有精确的转换关系，只是局部近似；而你遇到的超越方程，用指数形式展开后也没法得到初等解，数值方法是更实用的解法哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者person of stuff