求助大皮卡定理的证明

各位大佬，我现在急需帮忙！我正在读David C. Ullrich的《Complex made simple》，前面的证明要求都完成了，但作者没给出下面这个最终定理的证明，反而给了另一组定理的类似证明。

令 $\mathbb{D}' = \mathbb{D} \setminus {0}$

定理20.3（大皮卡定理） #

若 $f \in H(\mathbb{D}')$ 且 $f(\mathbb{D}') \subset \mathbb{C} \setminus {0, 1}$，则 $f$ 在 $0$ 点处有极点或可去奇点。

定理A #

若 $u: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ 是有界调和函数，则 $u$ 是常数。

证明 #

由于 $\mathbb{C}$ 是单连通的，存在一个实值调和...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ProofSeeker