关于柯西多面体刚性定理向仿射变换推广的问询与相关猜想

最近在琢磨柯西多面体刚性定理的推广方向时，发现了一个很有意思的猜想，拿出来跟大家聊聊：

猜想：假设$f$和$g$是抽象多面体$P$的两个凸实现（也就是说，$f(P)$和$g(P)$是两个凸多面体，它们的面格是同构的）。另外假设，对于$P$中的每个面$x$，都存在一个仿射变换$h_x$（不像柯西定理中那样要求是等距变换），使得$h_x(f(x)) = g(x)$，并且对于每个满足$y < x$的元素$y$，同样有$h_x(f(y)) = g(y)$。那么是否存在一个单一的仿射变换$h_P$，使得对于$P$中的每一个元素$x$，都满足$h_P(f(x)) = g(x)$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mr_e_man