伯恩斯坦基函数积分性质证明的整合与技术求助

嘿各位，我最近在捣鼓伯恩斯坦多项式相关的文档，刚好在证明它的一个积分性质，现在卡在半路上了，先来把目前整理的内容摆出来，求大佬们指点一二~

先跟大家明确下我用到的符号：

• 正整数集记为$\mathbb{Z}^{+}$
• 组合数$\binom{n}{k}$（就是从n个元素里选k个的组合数）
• $\brstbasis{n}{k}(t)$（也就是n次k阶伯恩斯坦基函数）

我要证明的命题是：
设$n, k \in \mathbb{Z}^{+}$且$0 \leq k \leq n$，则
$$
\int_{0}^{1} \brstbasis{n}{k}(t) \mathrm{d}t = \frac{1}{n + 1}
$$

目前我写出的证明开头是这样的：
首先，伯恩斯坦基函数的定义式是：
$$
\brstbasis{n}{k}(t) = \binom{n}{k} t^k (1 - t)^{n - k}
$$
把它代入积分里，就能得到：
$$
\int_{0}^{1} \brstbasis{n}{k}(t) \mathrm{d}t = \binom{n}{k} \int_{0}^{1} t^k (1 - t)^{n - k} \mathrm{d}t
$$

写到这里我就卡壳了！后面这个定积分我感觉和Beta函数或者Gamma函数有关？或者有没有组合恒等式能直接套用？死活推不出最后等于$\frac{1}{n+1}$的结果，有没有大佬能帮我补全推导步骤，或者给我指个清晰的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ziqi Fan