概型态射通过闭子概型分解与拉回同态为零的等价性证明问询

我最近在啃Görtz的代数几何教材，先给大家分享书中的一个关键命题（命题8.4）：

命题8.4 设$S$是一个概型，$v: \mathcal{E} \to \mathcal{F}$是拟凝聚$\mathcal{O}_S$-模的同态，且$\mathcal{F}$是有限局部自由的。那么“$v=0$”的轨迹是闭的；即函子
$$
F : (\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{opp}} \to (\operatorname{Set}), \ F(T) := { f\in \operatorname{Hom}_S(T,S) ; f^{*}(v)=0 }
$$
可由$S$的一个闭子概型$V$表示，也就是说存在自然同构$\eta : h_V \to F$。

现在我想基于这个命题证明一个结论：态射$f: T \to S$能通过闭子概型$V$（即上述命题中表示函子$F$的闭子概型）分解，当且仅当$f^*(v) = 0$。

我已经理解了命题8.4的结论，但在推导这个等价性的时候有点卡壳，有没有大佬能给我梳理一下证明思路，或者给出具体的推导步骤呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Plantation