Vakil《代数几何基础》12.2.G(c)问题求解求助

各位代数几何大佬们，我现在卡在Vakil《代数几何基础》（FOAG）里的12.2.G问题的第(c)小问了，想请大家给点思路！

先把整个问题的三个小问列出来，方便大家参考：

(a) 假设 $X \subset \mathbb{P}^n$ 是不可约射影 $k$-簇，证明 $X$ 对应的仿射锥和射影锥的维数都是 $\text{dim}(X) + 1$。

(b) 证明：$k[x_0,x_1,...,x_n]$ 中，在一个齐次理想之上的极小素理想也是齐次的。

(c) 假设 $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}$ 是 $k[x_0,x_1,...,x_n]$ 中的两个齐次素理想，且它们之间不存在严格包含的齐次素理想。证明：它们之间也不存在严格包含的（不一定齐次的）素理想。

我本来想利用前面(a)(b)两问的结论来推进，但刚触及到极小素理想相关的部分就卡壳了，实在摸不清怎么把齐次素理想之间的极大包含关系和任意素理想的情况联系起来。有没有大佬能给点提示或者讲讲关键的思考方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ice2water