关于全体正元素双随机矩阵构成流形的证明求助

嘿，我来帮你梳理一下怎么用原像定理证明这个结论，思路其实很清晰，咱们一步步来：

首先先明确你的目标集合：

$\mathcal{DP}n := { X \in \mathbb{R}^{n \times n}; ~ \forall i,j \in { 1,\cdots,n }\times { 1,\cdots,n } ~~ X{ij}>0, X1_n = 1_n, X^{\top}1_n = 1_n }$
这里$1_n = [1,\cdots,1]^{\top} \in \mathbb{R}^n$，也就是所有元素为正、行和与列和都为1的n阶矩阵集合。

第一步：利用原像定理的前提准备 #

原像定理的核心是：如果$f: M \to N$是光滑流形之间的光滑映射，且$y \in N$是$f$的正则值（即$f$在$f^{{-1}(y)$的每一点处的导数都是满射），那么$f}{-1}(y)$是$M$的子流形，维数为$\dim M - \dim N$。

我们把$M$取为$\mathbb{R}^{n \times n}$——这是一个$n^2$维的光滑流形，完全符合要求。接下来要构造合适的映射$f$，把双随机矩阵的约束转化为$f(X)=0$的形式。

注意到行和全为1的n个方程之间有一个线性依赖：所有行和相加等于所有元素的和，而所有列和相加也等于这个值，所以列和的n个方程里也有同样的依赖。因此独立的约束一共是$n + (n-1) = 2n-1$个。

我们定义光滑映射$f: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{2n-1}$如下：
$$
f(X) = \left(
\sum_{j=1}^n X_{1j} - 1,
\sum_{j=1}^n X_{2j} - 1,
\cdots,
\sum_{j=1}^n X_{nj} - 1,
\sum_{i=1}^n X_{i1} - 1,
\cdots,
\sum_{i=1}^n X_{i(n-1)} - 1
\right)
$$
简单说就是：前n个分量是每行和减1，后n-1个分量是前n-1列的列和减1。

第二步：验证0是$f$的正则值 #

因为$f$是线性映射，它的导数$df_X$在任意点$X$处都等于$f$本身（线性映射的导数就是它自己）。我们需要证明$f$是满射的，或者等价地，它的核空间维数是$n^2 - (2n-1) = (n-1)^2$。

$f$的核空间是满足以下条件的矩阵$v \in \mathbb{R}^{n \times n}$：

• 所有行和为0：$v1_n = 0$
• 前n-1列的列和为0：$\sum_{i=1}^n v_{i1} = \cdots = \sum_{i=1}^n v_{i(n-1)} = 0$

而由行和全为0，所有元素的和为0，因此第n列的列和$\sum_{i=1}^n v_{in} = -\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=1}^n v_{ij} = 0$，所以核空间其实就是所有行和与列和都为0的n阶矩阵集合，这个空间的维数确实是$(n-1)^2$（可以通过自由度计算：前n-1行前n-1列可以任意选，剩下的元素由行和列和的约束唯一确定）。

这说明$f$的秩是$2n-1$，也就是满射，因此0是$f$的正则值，根据原像定理，$f^{{-1}(0)$是$\mathbb{R}}{n \times n}$的子流形，维数为$(n-1)^2$。

第三步：正元素条件的处理 #

你的集合$\mathcal{DP}_n$其实是$f^{{-1}(0)$和$\mathbb{R}}{n \times n}$中所有元素为正的开集的交集。而流形的开子集本身也是流形（因为流形的定义是局部同胚于欧氏空间，开集的交集会保持局部的欧氏结构），所以$\mathcal{DP}_n$自然就是一个维数为$(n-1)^2$的光滑流形啦。

这样整个证明就完整了，核心就是利用原像定理处理线性约束，再结合开子集的性质覆盖正元素的条件～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathmrk