几何代数形式下张量波动方程的解的求解咨询

我最近在研究张量波动方程的几何代数形式，有个问题想和大家探讨一下：

首先，我们知道张量形式的波动方程：
$$
\square h_{\mu\nu} = 0
$$
它的解是：
$$
h_{\mu\nu}(\vec{x}, t) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)3} \sum_{\lambda=+,\times} \left( \epsilon_{\mu\nu}^{(\lambda)}(\vec{k}) a_{\vec{k},\lambda} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega_k t)} + \epsilon_{\mu\nu}^{(\lambda)}(\vec{k}) a_{\vec{k},\lambda}^ e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega_k t)} \right)
$$

另外，在几何代数里有这样的关系：
$$
h_{\mu\nu} = \frac{1}{2} (e_\mu e_\nu + e_\nu e_\mu)
$$

我现在把波动方程里的$h_{\mu\nu}$用这个几何代数的表达式替换，得到了新的波动方程：
$$
\frac{1}{2} \square (e_\mu e_\nu + e_\nu e_\mu) = 0
$$

我特别想知道的是，这个几何代数形式的波动方程对应的解应该是什么样的？也就是能不能把原来张量形式的解转换成几何代数下的表达式，或者有没有直接的推导方式来得到这个方程的解？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anon21