均质固定量黏土天体的“最大体重”问题形式化及最优形状结论推广问询

嘿，我最近在琢磨一个挺有意思的物理问题，想跟大家探讨下怎么把它的核心结论推广开来——为啥能让你体重最大的地球形状，是那种边界上所有点对你的引力贡献都相同的形状？

这是我超爱的一个物理问题：

假设地球是由固定量的均质、等密度黏土构成的。你站在北极点，能重塑脚下的地球形状。请问什么样的地球形状能让你的体重达到最大？

咱们先从直觉层面捋一捋：

• 要想体重最大，你肯定希望黏土尽可能离你近，毕竟引力是随距离增大而衰减的；
• 但黏土总量是固定死的啊，没法全堆在你脚下，总得有一部分“摊”到侧边去，这部分黏土的引力会带有横向分量，根本没法帮你增加体重；
• 所以最优形状其实就是在“尽量靠近”和“不能浪费分量”这俩效应之间找了个完美平衡点。

我之前还喜欢把这个最优形状拆解成一系列...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ridiculous_fish