对偶空间中单位球面上点的支撑泛函张成集的定义问询

我最近在学习对偶空间里的支撑超平面（或者说支撑泛函）相关内容，因为刚接触这部分，遇到了一些疑问：

设$X$是赋范空间，$X^$是$X$的对偶空间，$z\in S_X$（$S_X$为$X$的单位球面）。我们把$z$点处的支撑泛函集合定义为：
$$J(z)={f\in S_{X^}: f(z)=|f|=1},$$
这个集合是非空的（由Hahn-Banach定理保证），同时是弱紧的（Banach-Alaoglu定理），也是$S_{X^}={f\in X^*:|f|=1}$的凸子集。

现在我的问题是：

• 1. $\text{span}(J(z))$的准确定义是什么？我自己初步认为它应该是所有形如$\sum_{i=1}^{k}\lambda_if_i$的元素构成的集合，其中$\lambda_i\in\mathbb{F}$（$\mathbb{F}$为实数或复数域），$f_i\in J(z)$，$k$是任意正整数，但不确定这个表述是否完整准确，有没有更严谨的定义方式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tuh