关于特定n×n矩阵行列式规律的成因问询

最近我在研究一个物理模型，需要求下述形式的n×n矩阵的逆：

$$
\mathbf{A}^{-1}_n(x)=
\begin{pmatrix}
1 & -x & -x & -x & ... \
-x & 1 & -x & -x & ... \
-x & -x & 1 & -x & ... \
-x & -x & -x & 1 & ... \
... & ... & ... & ... & ...
\end{pmatrix}
^{-1}
$$

这让我开始好奇它不可逆的情况，也就是满足 $\det(\mathbf{A}_n(x)) = 0$ 的x值。

我自己推导出来一个很有意思的结论：
$$
\det(\mathbf{A}_n(x=\tfrac{1}{n-1})) = 0
$$

原因在于这个矩阵的行列式可以表示为这样的多项式：
$$
\det(\mathbf{A}_{n+1}) = (x+1)^n (1-nx)
$$

（亲测有效哦 :) 对了，顺便想问下……）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者julianiacoponi