关于将开集映射至整个实数集的实值函数的零测集限制性质问询

嘿，我有这么一个实分析相关的问题想请教大家：

给定映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，它能把每个非空开集都映射到整个实数集，那是不是一定存在一个零测集$A$，使得定义如下的函数$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$也具备同样的性质——把每个非空开集都映射到整个实数集？其中$g$的定义是：在集合$A$上$g(x)=f(x)$，其余所有点上$g(x)=0$。

我自己琢磨出了一个初步思路，想跟大家聊聊：

• 先用sigmoid函数把原问题转化成定义域为$(0,1)$的函数问题，这样处理起来更方便；
• 接着在二进制表示的框架下展开分析。考虑构造集合$B \subseteq (0,1)$，它是所有满足以下条件的$(0,1)$中元素的并集：对于每个$n$，该元素的第$n$位到第$n+k$位……（原思路内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam