如何用中点法求解转化为一阶系统的阻尼谐振子ODE？

咱们来一步步拆解这个问题：

原二阶常微分方程（ODE） #

首先给出待求解的阻尼谐振子二阶ODE及初始条件：
$$x'' + 2\gamma x' + \omega^2 x = 0, \quad x(0)=x_0, \quad x'(0)=-\gamma x_0$$

欠阻尼情形的精确解 #

当满足欠阻尼条件 $0 < \gamma < \omega$ 时，这个方程有解析的精确解：
$$x(t)= x_0 e^{-\gamma t} \cos(\beta t)$$
其中 $\beta$ 的定义为：
$$\beta:=\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}$$

转化为一阶微分方程组 #

为了用数值方法求解，咱们可以通过变量替换把二阶ODE转化为一阶系统：

• 令 $x' = y$，那么原方程的二阶导数项可以替换为 $y'$
• 代入原方程整理后，得到一阶方程组：
  $$
  \begin{cases}
  x' = y \
  y' = -2\gamma y - \omega^2 x
  \end{cases}
  $$

中点法求解公式 #

针对这个一阶系统，咱们使用中点法进行数值求解，对应的公式为：
$$\dfrac{ x_{n+1} - x_{n-1} }{2h} = y_n$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dragonite