寻求不使用Burnside p-补定理证明180阶群非单的方法

各位好~我知道有一个证明180阶群不是单群的思路，但那个方法用到了Burnside p-补定理。其实我本身是理解Burnside定理的，但还是想找一个不依赖这个定理的证明方式，有没有大佬能指点一下呀？

先跟大家说说我目前已经梳理清楚的部分：

• 对于180阶群(G)，它的5阶西罗子群的个数(n_5)只能是1、6或者36
• 显然(n_5 \neq 1)（不然就存在正规的5阶西罗子群，群直接就不是单群了）
• 如果(n_5=6)，我们可以把(G)嵌入到(A_6)中，这会导出矛盾，所以这种情况也排除了
• 现在就只剩下(n_5=36)的情况需要进一步分析了

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akasa