积分平均的弱*收敛性

咱们先把背景设定理清楚：假设$U$是一个Banach空间，$V \subseteq U$是个有界、凸而且按范数闭的子集。接下来看Bochner-Lebesgue空间$L^r(0,T;U)$，这里$T>0$，$r$的范围是$[1,\infty]$，这个空间里装的都是强可测函数$u\colon[0,T]\to U$，而且得满足$\int_0^T\Vert u(s)\Vert^r_U,ds<\infty$这个条件。

对于这类函数$u$，我们定义积分平均：
$$w_\varepsilon(s)=(T_\varepsilon u)(s)=\frac1\varepsilon\int_s^{s+\varepsilon}u(t),dt$$
不过要注意，这个定义只在$s+\varepsilon<T$的时候成立哦。

现在给定一个网$(u_\iota)_\iota$，它在$L^r(0,T;U)$中弱*收敛（注：原文此处内容未完整给出，若你有后续补充条件或问题，咱们可以继续展开分析）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe S