关于实数集中满足击中条件的可数集族的技术问询

我最近在研究一个几何相关的问题时，碰到了个小卡点。为了把问题描述清楚，先给大家明确几个基础概念：

• 我们称一个点 $p$ 击中 集合 $X$，当且仅当 $p \in X$。
• 我们称一个点 $p$ 击中 集族 $\mathcal{F}$，当且仅当 $p$ 击中 $\mathcal{F}$ 中的每一个集合 $B$（也就是对所有 $B \in \mathcal{F}$，$p$ 都满足击中 $B$ 的条件）。
• 我们称一个集族 $\mathcal{F}$ 是 有限可击中的，当且仅当存在一个有限点集 $P$，使得对 $\mathcal{F}$ 中的任意集合 $B$，都存在 $P$ 中的某个点 $p$ 击中 $B$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CliffordSamba