求解kappa平衡分布等离子体粒子数密度相关积分的技术问询

大家好，我目前在计算kappa平衡分布等离子体的粒子数密度时遇到了一个积分难题，需要求解的积分表达式如下：

$$
\operatorname{I}\left(\kappa,\alpha\right) =
\int_{0}^{\infty}
\left[1 + \frac{\alpha}{\kappa}\left(\sqrt{,{p^{2} + 1},} - 1\right)\right]^{-\kappa - 1},p^{2}{\rm d}p
$$

其中，参数$\kappa$和$\alpha$为实常数，可取以下数值：

• $\kappa$的取值：0.1、1、10、1000
• $\alpha$的取值：0.1、1、10、100、1000

这个积分是推导等离子体粒子数密度n的关键步骤，对应的kappa平衡分布函数形式为：
$$
\operatorname{f}\left(\kappa,p,\alpha\right) =
n,C\left[1 + \frac{\alpha}{\kappa}\left(\sqrt{p^{2} + 1} - 1\right)\right]^{-\kappa - 1}
$$
注：原问题中关于粒子数密度n的后续描述存在截断，核心需求为求解上述积分$\operatorname{I}\left(\kappa,\alpha\right)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gallagher