附着空间的同伦等价性判断与同调群计算问题

咱们先把问题的背景再梳理清楚：考虑一个没有上下底的圆柱$S^1 \times [0,1]$，以及复平面上的另一个圆周$S^{1$。我们在$\mathbb{S}}1$上定义了一个映射$f: z \rightarrow z^{2$，这是一个**度数为2**的映射；接着通过把圆柱上的点$(z,0)$和另一个$S}1$上的$f(z)$点粘合（也就是$(z,0) \sim f(z)$），得到了附着空间$X = (S^1 \times I \cup S^{1)/\sim$。你提到这个空间的“底部”是$\mathbb{R}P}1$，这个观察是对的，但这里有个容易混淆的关键点：$\mathbb{R}P^{1$其实和$S}1$是同胚的——实射影直线本质就是把圆周的对径点粘合，而$f(z)=z^{2$刚好就是把对径点映射到同一个点，所以这个粘合后的“底部”和$S}1$是一回事。

我的问题：这个空间是否与$\mathbb{R}P^1$同伦等价？如果不是，该如何计算它的同调群？

你提到自己尝试用胞腔同调解决，还给空间赋予了CW复形结构，这个思路非常对，咱们一步步来解答：

一、同伦等价性判断 #

首先可以明确：这个空间$X$和$\mathbb{R}P^1$是同伦等价的。

其实你构造的$X$就是映射$f: S^1 \rightarrow S^1$的映射圆柱，而映射圆柱有个非常基础的拓扑性质：任何映射$f: A \rightarrow B$的映射圆柱$M_f$，都和值域$B$同伦等价。

咱们可以直观地构造这个同伦：把圆柱$S^1 \times [0,1]$想象成一根可以“收缩”的管子，我们从圆柱的顶端$(z,1)$开始，慢慢把整个管子往粘合的$S^{1$（也就是你说的$\mathbb{R}P}1$）方向收缩——比如定义一个同伦$F: X \times [0,1] \rightarrow X$，对于圆柱上的点$(z,t)$，让$F((z,t),s) = (z, t(1-s))$，当$t(1-s)$降到0时，就对应到粘合点$f(z)$；对于粘合的$S^{1$上的点，让它保持不动。这个过程会把整个$X$收缩到$\mathbb{R}P}1$上，所以两者是同伦等价的。

二、同调群计算 #

既然$X$和$\mathbb{R}P^1 \cong S^1$同伦等价，它们的同调群自然完全相同：

• $H_0(X) \cong \mathbb{Z}$：所有道路连通空间的0维同调群都是整数加群，这是拓扑学里的基本结论；
• $H_1(X) \cong \mathbb{Z}$：和圆周$S^1$的1维同调群一致，对应着空间里的“环路”生成元；
• $H_k(X) \cong 0$（$k \geq 2$）：这个空间是2维的，但因为可以收缩到1维的圆周，所以不存在非平凡的高维同调类。

如果用你尝试的胞腔同调验证的话，咱们可以给$X$搭个简单的CW结构：

• 0维胞腔：取粘合$S^1$上的一个点$x_0$，对应圆柱上的$(1,0)$和$(-1,0)$；
• 1维胞腔：一个1胞腔$a$，对应粘合的$S^1$，它是基本群和1维同调群的生成元；
• 2维胞腔：一个2胞腔对应整个圆柱，它的边界映射会把圆柱的底端$(z,0)$映射到$a^{2$（因为$f$是度数2的映射），顶端$(z,1)$映射到$a}{-1}$，边缘同态的像会生成1维链群的一个子群，最终计算出来的同调群和上面的结论完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ubik