关于特定形式拉普拉斯逆变换的求解及相关问题咨询

嘿，很高兴能帮你梳理这个拉普拉斯逆变换的问题！咱们逐个回应你的疑问：

• 能不能计算逆变换$\operatorname{f}(t)$：当然可以！哪怕$a_1,a_2,a_3$是正实数（非整数），也能通过特殊函数得到闭式解，不用太担心~
• 非整数次幂的闭式解问题：你说整数阶容易是完全正确的，但非整数阶也有对应的解法，核心是用到**伽马函数（Gamma Function）**这个基础特殊函数。比如单个项$\frac{1}{(s - s_i)^{{a_i}}$的逆变换是$\frac{t}{a_i - 1} e^{s_i t}}{\Gamma(a_i)}$，这里$\Gamma(a_i)$就是伽马函数——当$a_i$是整数时，$\Gamma(a_i)=(a_i-1)!$，刚好和我们熟悉的整数阶逆变换结果一致，这其实就是整数情况的自然推广。
  对于你给出的三个极点的情况，可以先把$\operatorname{F}(s)$做部分分式分解（分数阶同样适用），拆成三个单极点项的和，再分别求逆变换相加就行。分解形式大概是：
  $$
  \operatorname{F}(s) = \frac{A_1}{(s - s_1)^{a_1}} + \frac{A_2}{(s - s_2)^{a_2}} + \frac{A_3}{(s - s_3)^{a_3}}
  $$
  这里的系数$A_1,A_2,A_3$可以通过类似留数的方法求解，和整数阶的部分分式分解逻辑一致，只是处理分数幂时要用到伽马函数相关的极限或导数推广。
• 特殊函数的接受度：完全没问题！刚才提到的伽马函数，以及更复杂的米塔-列夫勒函数、福克斯H函数，都是工程和数学领域公认的用于表达这类分数阶变换结果的工具，用它们写出的解完全是有效的闭式解。
• ROC的选择：你的猜测方向有道理，但更准确的是：只要ROC满足$\text{Re}(s) > \max(s_1,s_2,s_3)$（右半平面，比所有极点的实部都大），就能得到因果的逆变换$\operatorname{f}(t)$；如果选$\text{Re}(s) < \min(s_1,s_2,s_3)$（左半平面），得到的是反因果信号。两种ROC都能得到解，通常我们更关注因果情况的右半平面ROC。
• 额外小提示：如果想动手推导，可以用拉普拉斯逆变换的积分定义：
  $$
  \operatorname{f}(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} \operatorname{F}(s) e^{st} ds
  $$
  选择$\sigma$在ROC范围内，然后对每个分解后的项分别计算积分，就能得到用伽马函数表示的结果了。

原始提问内容：
Consider the Laplace Transform of the form
$$
\operatorname{F}\left(s\right) =
\frac{1}{\left(s - s_{1}\right)^{\large a_{1}}
\left(s - s_{2}\right)^{\large a_{2}}
\left(s - s_{3}\right)^{\large a_{3}}}
$$
where $a_1,a_2,a_3,s_1,s_2,s_3 \in \mathbb{R}^+$ are all positive given numbers.

• Is it possible to calculate the Inverse transform $\operatorname {f}\left(t\right)$ ?.
• If $a_1,a_2$ be integers it would be easy, however for real values I'm not sure if a closed form solution even exists !.
• It is OK if it can be expressed in terms of special function too.
• I'm not sure about ROC ( any ROC that permits a solution would be OK).
• In general I guess if an inverse exists, it's ROC should be a left half plane !.

Any hint...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者K.K.McDonald