从商空间提升椭圆曲线上的线丛相关问题

嘿，这个问题问得特别到位！咱们来一步步拆解椭圆曲线商空间和线丛之间的对应关系：

首先明确核心映射 #

我们有商映射 $\pi: E \to E/G$，这是一个有限平展覆盖（因为G是有限群，椭圆曲线是光滑代数曲线，所以这个覆盖要么无分支点，要么只有有限个分支点，具体取决于G的作用方式）。

1. 商空间线丛拉回的自然对应 #

• 对于$E/G$上的任意线丛$L$，通过拉回操作$\pi^{*$得到的$\pi}L$必然是$E$上的线丛，而且这个拉回的线丛自带$G$的线性作用——也就是说$G$中的每个元素$g$都能诱导$\pi^{*L$的自同构，并且满足群作用的相容性（比如$g_1}(g_2^*L) = (g_1g_2)^*L$）。
• 反过来，如果$E$上的线丛$F$带有$G$的线性作用，且这个作用和商映射$\pi$相容，那么$F$可以下降到$E/G$上：也就是说存在唯一的$E/G$上的线丛$L$，使得$\pi^*L \cong F$。

2. 不是所有$E$上的线丛都来自$E/G$ #

这是你问题的核心，答案是否定的——只有那些被$G$作用“不变”的线丛，才能对应到商空间$E/G$上的线丛。

举个具体的例子帮你理解：
假设$G$是椭圆曲线$E$上的2阶循环群${1, -1}$，作用是反演$(x,y) \mapsto (x,-y)$。此时根据Riemann-Hurwitz公式，商空间$E/G$是射影直线$\mathbb{P}^1$。

• $\mathbb{P}^{1$的Picard群$\text{Pic}(\mathbb{P}}1) \cong \mathbb{Z}$，对应不同次数的线丛$\mathcal{O}(d)$。拉回$\pi^*\mathcal{O}(d)$是$E$上的$d$次线丛，并且是$G$-不变的。
• 但$E$的Picard群$\text{Pic}(E) \cong \mathbb{Z} \oplus E$，其中$\text{Pic}^0(E) \cong E$（对应$E$上的零度线丛，和$E$的点一一对应）。这里面有大量线丛不被$G$作用固定：比如对应$E$中非2阶点的零度线丛，反演作用会把它映射到另一个不同的线丛，这样的线丛就无法下降到$\mathbb{P}^{1$上，自然也不是来自$\mathbb{P}}1$的线丛拉回。

3. 用Picard群的视角总结 #

拉回同态$\pi^*: \text{Pic}(E/G) \to \text{Pic}(E)$的像，恰好是$\text{Pic}(E)$中所有$G$-不变线丛组成的子群，记为$\text{Pic}(E)^G$。

• 当$G$自由作用（即商映射无分支）时，$E/G$也是椭圆曲线，此时$\text{Pic}(E)^G$在$\text{Pic}(E)$中的指数等于$|G|$，也就是说每$|G|$个$E$上的线丛里，才有1个是$G$-不变的、能对应到商空间的线丛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Slim Shady