关于含加性特征的p进积分分段结果的证明疑问

最近我在学习p进积分的时候，碰到了这么一个例子：

$$
\int_{p^{n\mathbb{Z}_p}\times} e_p(x) dx = \begin{cases}
p^{-n}(1-p{-1}),\text{if $n\geq0$}\
-1, \text{if $n=-1$}\
0, \text{if $n<-1$}
\end{cases}
$$

这里的$e_p(x)=e^{-2\pi i{x}}$，其中${x}$是$x$在$\mathbb{Q}_p$中的分数部分。

目前我已经搞懂了$n\geq0$时的推导过程，具体是这样的：

因为p进单位群$\mathbb{Z}_p^\times = \mathbb{Z}_p - p\mathbb{Z}_p$，两边乘以$p^{n$之后，我们可以得到$p}n\mathbb{Z}_p^\times = p^n\mathbb{Z}_p - p^{n+1}\mathbb{Z}_p$。所以这个积分可以拆成两个积分的差：

$$
\int_{p^{n\mathbb{Z}_p}\times} e_p(x) dx = \int_{p^n\mathbb{Z}p} e_p(x) dx - \int{p^{n+1}\mathbb{Z}_p} e_p(x) dx
$$

不过对于$n=-1$和$n<-1$这两种情况的推导，我还没弄明白，希望能得到相关的解释和证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Soumya