关于环$R = \mathbb R[X,Y]/(XY - 1)$的商环$R/I$的同构描述及结构分析求助

我最近碰到了一个环论的问题，想请大家帮忙梳理思路：

设$R = \mathbb R[X,Y]/(XY - 1)$（这里$\mathbb R$是实数集），$I$是$R$中由$X-Y$在$R$中的像生成的理想。我希望能找到一个更常见的环，让它和$R/I$同构，这样就能轻松判断$R/I$是不是整环、是不是域，还能搞清楚它的极大理想结构。

我自己试了个思路：先构造一个从$\mathbb R[X,Y]$到某个熟悉的环$R'$的满同态，让这个同态的核恰好是理想$(XY - 1)$，这样就能得到$\mathbb R[X,Y]/(XY - 1) \simeq R'$，之后再分析$R/I$就会简单很多。但我卡在定义这个同态的环节了——毕竟有$XY=1$这个约束，$1,x,y$这些元素的对应关系我总是理不清楚...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jishnu