关于论文《On the number of invariant Sylow subgroups under coprime action》中引理2.5的疑问

最近我在读Antonio Beltrán和Changguo Shao的论文《On the number of invariant Sylow subgroups under coprime action》，里面的引理2.5有个地方我始终搞不明白，想请教下各位。

先明确论文里的前提设定：在1.引言部分的末尾、引理正式陈述之前，作者专门说明“所有群均假设为有限群”。

引理2.5：设$A$是一个群，与可解群$G$互素作用，$M$是$G$的一个$A$-不变子群。设$P$是$G$的一个$A$-不变Sylow $p$-子群且满足$P\leq M$，那么……

我卡在了引理后续的这部分推导逻辑上，有没有熟悉互素作用下不变Sylow子群相关内容的朋友，能帮忙拆解解释一下呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_survivor