关于K-单同态的诱导性及有限域扩张相关结论的疑问

咱们先来看这个问题：假设$L:K$是有限域扩张，并且每个$K$-单同态$L \to L$都是自同构。那如果这个扩张不是有限的，这个结论还能成立吗？

其实这个结论必须要求扩张是有限的，咱们可以用具体例子来验证：
考虑$L=K(X)$，也就是$K$上的有理函数域。

映射$X \mapsto X^2$会诱导出一个$K$-单同态$K(X) \to K(X)$，但这个同态并不是满射的，自然也就不是自同构了。

再说说我自己的尝试：
定义$\varphi: K[X] \to K[X]$，让$\varphi(x)=x^2$，这里$\varphi$...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jasmine