Matlab中查找满足特定条件的子矩阵的最优方法

问题概述 #

咱们先把需求和背景理清楚：给定下面这个仅含0和1的矩阵：

0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1

我们需要找出所有满足以下两个条件的子矩阵（只需要记录子矩阵四个角的行、列索引即可）：

• 条件1：子矩阵中至少包含L个1，同时至少包含L个0；
• 条件2：子矩阵的总元素数量不能超过H。

举个实际例子：当L=1、H=5时，行索引1-2、列索引1-4的子矩阵内容为：

0 1 1 1
1 1 1 1

它满足条件1（有1个0、7个1，均≥1），但总元素数为8，超过了H=5，因此不符合要求。

可行求解思路 #

基础遍历法（适合小规模矩阵）

• 枚举所有可能的子矩阵边界：遍历所有左上角坐标(r1, c1)和右下角坐标(r2, c2)，需保证r2 ≥ r1、c2 ≥ c1；
• 先做快速筛选：计算子矩阵总元素数(r2 - r1 + 1) * (c2 - c1 + 1)，如果该数值大于H，直接跳过这个子矩阵，无需后续统计；
• 统计元素计数：遍历子矩阵内的每个元素，统计1的数量，0的数量可通过总元素数减去1的数量得到，再检查两者是否都≥L；
• 记录有效结果：若两个条件都满足，就把(r1, c1, r2, c2)记录为符合要求的子矩阵边界。

优化方案（适合较大规模矩阵）

如果矩阵规模不小，基础遍历的效率会偏低，咱们可以用前缀和矩阵来优化统计速度：

1. 构建前缀和矩阵：预处理一个prefix矩阵，其中prefix[i][j]代表从矩阵左上角(0,0)到(i-1, j-1)的子矩阵中1的总数；
2. 快速计算子矩阵的1的数量：对于任意子矩阵(r1,c1)到(r2,c2)，1的数量可以通过公式直接计算：

   count_1 = prefix[r2+1][c2+1] - prefix[r1][c2+1] - prefix[r2+1][c1] + prefix[r1][c1]
   

3. 推导0的数量：count_0 = 子矩阵总元素数 - count_1，无需遍历子矩阵就能得到两个计数，大幅提升效率。

通过以上方法，就能高效找出所有符合要求的子矩阵啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sound wave