卷积运算中DFT点数选择：N长信号需用2N-1点DFT吗？

问题解答 #

先直接给你明确结论：

1. 卷积运算（指我们通常需要的线性卷积）中，DFT的点数至少要等于两个输入信号的长度之和减1；如果是用FFT来加速计算，实际工程里通常会选大于等于这个最小值的、适合FFT高效运行的点数（比如2的整数次幂）。

2. 没错，你完全想对了——必须采用2N-1点DFT（或更大的合适点数），绝对不能用N点DFT，否则会得到错误的卷积结果。

下面详细拆解原因：

我们用DFT计算线性卷积的核心逻辑是：DFT的乘积对应时域的循环卷积。而我们要的是两个N长信号的线性卷积（长度固定为2N-1），只有当循环卷积的长度M ≥ 2N-1时，循环卷积才会和线性卷积完全等价。

如果用N点DFT，对应的是N点循环卷积：此时线性卷积的结果会被以N为周期进行延拓，延拓后的序列在主值区间（0到N-1）会发生重叠混叠，最终得到的循环卷积结果是混叠后的数值，完全不是我们想要的线性卷积结果。

举个直观的例子：假设N=3，x=[1,2,3]，y=[4,5,6]

• 它们的线性卷积是[4, 13, 28, 27, 18]（长度5=2*3-1）
• 如果用3点DFT计算，得到的循环卷积是线性卷积延拓后取主值：把线性卷积的最后两个元素（27,18）加到前两个位置（4,13）上，结果变成[4+27, 13+18, 28] = [31, 31, 28]，这显然和真实的线性卷积结果不符。

而当我们用2N-1点（也就是5点）DFT时，循环卷积的长度足够容纳线性卷积的所有元素，延拓不会产生重叠，此时循环卷积就等于线性卷积，结果完全正确。

另外补充一点：实际工程中为了FFT的计算效率，我们经常会选择大于等于2N-1的最小的2的整数次幂作为DFT点数（比如如果2N-1=5，就选8点DFT），这样FFT计算速度会更快，最后只需要取前2N-1个结果即可，不影响正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Javi