基于两个相机位姿计算单应性及相机矩阵参数求解问询

我来一步步帮你拆解这几个问题，结合Hartley & Zisserman（HZ）第13.2节的内容来解释：

1. 关于nᵀ/d的含义：它不是平面到相机中心的归一化向量 #

首先回顾HZ里的单应推导：单应H是将平面上的点从相机1投影到相机2的变换，公式基于平面的齐次表示π = [nᵀ, d]ᵀ——其中n是平面在世界坐标系下的单位法向量，d是平面到世界坐标系原点的距离。

公式里的nᵀ/d是平面齐次表示的一部分，它和相机中心的关系是：平面到相机中心C₁（世界坐标系下）的距离是nᵀC₁ + d，但nᵀ/d本身并不是直接指向相机中心的归一化向量。它的作用是在单应公式里引入平面的姿态信息，和相机的位姿结合完成投影变换。

2. 如何从投影矩阵P₁/P₂获取相机中心 #

相机中心C是世界坐标系下满足PC = 0的点（因为相机中心在自身投影下是无穷远点，投影结果为0向量）。

已知投影矩阵P = K[R | t]（3×4矩阵，K是内参，R是旋转矩阵，t是平移向量），推导相机中心的步骤：

• 相机中心的齐次坐标为[C; 1]，代入P[C;1] = 0，得到K(RC + t) = 0
• 因为内参矩阵K可逆，所以RC + t = 0
• 旋转矩阵R是正交矩阵，R⁻¹ = Rᵀ，因此解得：

  C = -Rᵀt
  

  这就是相机中心在世界坐标系下的非齐次坐标。

如果直接从P提取（不需要先拆分R和t），可以用以下方法：

• P的右零空间就是相机中心的齐次坐标，即求解Px=0的非零解，归一化后得到[C;1]。

3. 从投影矩阵P₁/P₂中提取R和t #

已知P = K[R | t]，其中K是已知的内参矩阵（你的问题中明确给出P₁=K₁[R₁|t₁]、P₂=K₂[R₂|t₂]，所以K₁、K₂应该是预先标定好的），提取步骤如下：

1. 计算内参矩阵的逆：K⁻¹
2. 左乘P得到K⁻¹P = [R | t]（3×4矩阵）
3. 从K⁻¹P中提取前3列，这就是旋转矩阵R（注意R是正交矩阵，满足RᵀR=I，可以验证这一点来确保正确性）
4. 第4列就是平移向量t

需要注意：如果K未知，无法直接从P中唯一确定R和t（存在尺度和旋转的歧义），但你的问题中已经给出P的结构包含K，所以只要K已知，就能准确提取。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nickponline