含多种特殊情况的积分曲线族归属验证

嘿，各位，咱们来搞定这个积分曲线族的归属问题。给定曲线族 ( S = { y_k(x) \mid k \in \mathbb{R} } )，其中核心的积分表达式是 ( y_k(x) = \int \frac{x^2}{x4 + kx^2 + 1} dx )，我们的目标就是验证选项(A)到(D)是不是都属于这个集合——说白了，就是给每个选项找到对应的实数 ( k )，证明它的导数恰好等于 ( \frac{x^2}{x4 + kx^2 + 1} ) 就行。

验证选项(A) #

先看(A)的表达式：
[ \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x^2 - x - 1}{x^2 + x - 1} \right| + \frac{1}{4\sqrt{5}} \ln \left| \frac{x^2 - \sqrt{5}x + 1}{x^2 + \sqrt{5}x + 1} \right| + C ]
我们对它逐项求导：

• 第一项导数：通分计算后得到 ( \frac{x^2+1}{2(x4-3x^2+1)} )
• 第二项导数：同样通分计算后得到 ( \frac{x^2-1}{2(x4-3x^2+1)} )
  把两项加起来：[ \frac{(x^2+1)+(x2-1)}{2(x^4-3x2+1)} = \frac{x^2}{x4-3x^2+1} ]
  这正好对应 ( k=-3 ) 的情况，所以(A)属于 ( S )。

验证选项(B) #

(B)的表达式是：
[ \frac{-x}{2x^2 - 2} + \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C ]
逐项求导：

• 第一项导数：用商的求导法则算出 ( \frac{x^2+1}{2(x2-1)^2} )
• 第二项导数：化简后得到 ( \frac{1}{2(x^2-1)} )
  通分相加：[ \frac{(x^2+1)+(x2-1)}{2(x^2-1)2} = \frac{x^2}{x4-2x^2+1} ]
  对应 ( k=-2 )，所以(B)也属于 ( S )。

验证选项(C) #

(C)的表达式：
[ \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \left| \frac{x^2 - \sqrt{2}x + 1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \right| + C ]
逐项求导：

• 反正切项：通过链式法则计算，最终得到 ( \frac{x^2+1}{2(x4+1)} )
• 对数项：类似(A)的计算，得到 ( \frac{x^2-1}{2(x4+1)} )
  相加后：[ \frac{(x^2+1)+(x2-1)}{2(x^4+1)} = \frac{x^2}{x4+0x^2+1} ]
  对应 ( k=0 )，显然属于 ( S )。

验证选项(D) #

(D)的表达式：
[ \frac{1}{4} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{2x} \right) - \frac{x}{2x^2 + 2} + C ]
逐项求导：

• 反正切项：链式法则计算后得到 ( \frac{1}{2(x^2+1)} )
• 分式项：求导后得到 ( \frac{x^2-1}{2(x2+1)^2} )
  通分相加：[ \frac{(x^2+1)+(x2-1)}{2(x²⁺¹⁾2} = \frac{x^2}{x4+2x^2+1} ]
  对应 ( k=2 )，所以(D)也属于 ( S )。

综上，四个选项都能找到对应的实数 ( k )，证明它们都属于曲线族 ( S )。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rohit1729