关于两个当x→∞时渐近等价于x的函数的渐近性命题分析（含示例与反例）
咱们来分析一组关于渐近等价函数的命题：假设当$x \to \infty$时，函数$f(x) \sim x$且$g(x) \sim x$（也就是$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$，$\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x}=1$），下面三个命题里有两个是错误的，咱们逐个拆解：
命题1：$\lim_{x \to\infty} f(x)-g(x)=0$
我觉得这个命题肯定是错的，举个简单的反例就能推翻：
取$f(x)=x+1$，$g(x)=x$，显然当$x\to\infty$时，$\frac{f(x)}{x}=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\to1$，$\frac{g(x)}{x}=1\to1$，满足$f(x)\sim x$、$g(x)\sim x$的条件，但此时$\lim_{x \to\infty} (f(x)-g(x)) = \lim_{x \to\infty} 1 = 1 \neq 0$，直接说明这个命题不成立。
命题2：$f(x)^{g(x)} \sim x^x$
这个命题同样站不住脚，先明确渐近等价的定义：$A(x)\sim B(x)$当$x\to\infty$是指$\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{B(x)}=1$。咱们举个合规的反例：
取$f(x)=x$（满足$f(x)\sim x$），$g(x)=x+\ln x$，此时$\frac{g(x)}{x}=1+\frac{\ln x}{x}\to1$，所以$g(x)\sim x$。计算$f(x)^{g(x)}$：
$$f(x){g(x)}=x{x+\ln x}=x^x \cdot x^{\ln x}=x^x \cdot e^{(\ln x)^2}$$
当$x\to\infty$时，$e^{(\ln x)2}$会趋向于无穷大，所以$\frac{f(x){g(x)}}{xx}=e{(\ln x)^2}\to\infty≠1$，完全不满足渐近等价的要求，因此命题2是错误的。
（补充：原例子里的$g(x)=-x$其实不符合$g(x)\sim x$的条件，因为$\lim_{x\to\infty}\frac{-x}{x}=-1≠1$，所以咱们换了个合规的反例~）
命题3：$\lim_{x \to\infty} \frac{f(x)+g(x)}{x} \in \mathbb{R}-{0}$
这个命题是正确的，咱们来推导一下：
因为$f(x)\sim x$，所以$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$；同理$\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x}=1$。根据极限的加法法则：
$$\lim_{x \to\infty} \frac{f(x)+g(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} + \lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x} = 1+1=2$$
2是一个非零的实数，完全符合命题的描述。这里要注意，原例子里的$g(x)=-x+1$并不满足$g(x)\sim x$，因为$\lim_{x\to\infty}\frac{-x+1}{x}=-1≠1$，所以那个例子是不符合前提条件的哦。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1363668
