关于实方阵分解为低维矩阵乘积及逼近的技术问询

嘿，各位大佬，我最近在琢磨线性代数里的一个问题，想过来请教下大家：

能否将任意实方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 表示为两个低维矩阵的乘积 $XY$？这里的低维矩阵指 $X \in \mathbb{R}^{n \times k}$ 和 $Y \in \mathbb{R}^{k \times n}$，并且要求对任意的 $k \geq 1$ 都能实现这种分解？

如果第一个问题的答案是“不能”，那我还有两个后续问题：

• 能否用这样的低维矩阵乘积以带有误差保证的方式逼近 $A$？
• 与第一个逼近问题相同，但在对 $k$ 施加额外约束的情况下，这种有误差保证的逼近是否仍然可行？

我一开始觉得第一个问题的答案显然是“不能”，毕竟 $X$ 和 $Y$ 总共的元素数量可能远少于 $A$ 的元素数——这意味着 $A$ 的“可能形态”要比 $(X,Y)$ 矩阵对的“可能形态”多得多。不过……（后续内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BobTheThird