从群代数KH的中心元素构造群代数KG的中心元素的证明问题

嘿，我最近碰到这么一个群论里的问题，想请大家帮忙看看怎么证明：

给定有限群$G$，$H$是$G$的一个子群（不需要假设$H$是正规子群）。设$T$是$H$在$G$中的一个横截（也就是每个左陪集里选一个代表元构成的集合），$K$是一个域，$z$是群代数$KH$的中心元素——我们知道，$z$可以写成$z = \sum a_K \hat{K}$，这里的求和是对$H$的所有共轭类$K$进行的，$\hat{K}$是共轭类$K$中所有元素的和，$a_K$是域$K$里的系数。

现在要证明的结论是：

令$Z = \sum_{t \in T} z^{t$，这里上标$t$表示共轭（也就是$z}t = t^{-1}zt$），证明$Z$属于群代数$KG$的中心$Z(KG)$。

我之前好像见过这个结论，但一时想不起来怎么推导了，有没有大佬能给个证明思路或者完整的证明过程呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gauss