模$p^k$的$n$阶范德蒙德矩阵核的非平凡性阶数$l$的相关咨询

大家好，我最近在研究模$p^k$下的$n$阶范德蒙德矩阵，碰到了一个让我困惑的问题，想请教社区里的各位大佬：

假设我们有一个$n \times n$的范德蒙德矩阵$A$，所有元素都属于$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$，而且用来构造这个矩阵的$x_i$都是两两不同的。

我们定义矩阵$A$的核空间：
$$K = \text{ker}(A) = {\mathbf{v} \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})n \mid A\mathbf{v} = \mathbf{0}}$$

另外，$l$是满足**$K$模$p^l$后为平凡空间（仅含零向量）**的最大整数，也就是$K \mod p^l = {\mathbf{0}}$。

我自己做了几组数值测试，结果里的$l$比我一开始预期的大不少：比如当$p=2$，$k=64$，$n=40$，且$x_i = i+1$时，我算出的$l$是29。

我想知道这个$l$有没有已知的规律或者下界/上界估计？有没有相关的理论结果可以解释为什么它会比预期大这么多？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sharp Edged