关于点积旋转不变性的直观证明求助

我最近一直在深挖点积的本质，之前碰到过一个类似的基础问题场景，但“同时旋转两个向量不会改变它们的点积”这个结论的证明实在太不直观了，有没有大佬能给个更易懂的直观证明呀？

我试着用微积分推导，想让一些项抵消后重新得到$cos(\theta)$，还尝试用归纳思路来证：任意向量$v$和它旋转了$d\theta$后的向量$v'$做点积，结果不会有变化，但推导过程越写越乱，完全没法往下推进。

真的很希望能得到大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者namename