独立非同分布指数随机变量和的密度计算方法问询

嘿，我完全懂你为啥觉得用归纳法硬算卷积有点麻烦——其实这里有几个更巧妙的思路，能让你快速get到这个结果，不用死磕冗长的积分！

方法一：拉普拉斯变换匹配法（最直接） #

首先回忆一下，独立随机变量和的拉普拉斯变换等于各变量拉普拉斯变换的乘积。对于$X_i \sim \text{Exp}(i)$，它的拉普拉斯变换是：
$$\mathcal{L}_{X_i}(s) = \mathbb{E}[e^{-sX_i}] = \frac{i}{i+s}$$
那$Z = X_1+\dots+X_n$的拉普拉斯变换就是这些的乘积：
$$\mathcal{L}Z(s) = \prod{i=1}^n \frac{i}{i+s} = \frac{n!}{(s+1)(s+2)\dots(s+n)}$$

现在看题目给出的密度$f_Z(u) = n e^{-u}(1-e{-u})^{n-1}$（$u>0$），我们来算它的拉普拉斯变换：
$$\mathcal{L}_f(s) = \int_0^\infty e^{-su} \cdot n e^{-u}(1-e{-u})^{n-1} du$$
做变量替换$t = 1-e^{{-u}$，则$e}{-u}=1-t$，$du = \frac{dt}{1-t}$，当$u=0$时$t=0$，$u\to\infty$时$t=1$，代入后积分变成：
$$n \int_0^1 (1-t)^s \cdot t^{n-1} dt = n \cdot \text{B}(s+1, n)$$
其中$\text{B}(a,b)$是Beta函数，它和Gamma函数的关系是$\text{B}(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，代入得：
$$n \cdot \frac{\Gamma(s+1)\Gamma(n)}{\Gamma(s+n+1)} = n \cdot \frac{s! \cdot (n-1)!}{(s+n)!} = \frac{n!}{(s+1)(s+2)\dots(s+n)}$$

你看，这个结果和$Z$的拉普拉斯变换完全一致！而拉普拉斯变换是唯一确定分布的，所以题目给出的密度就是对的。

方法二：归纳法简化版（证明CDF而非密度） #

其实我们不用直接卷积密度，转而证明$Z$的累积分布函数（CDF）是$F_Z(u)=(1-e^{-u})n$（$u>0$），然后对CDF求导就能得到密度，这会简单很多：

• 基例$n=1$：$Z=X_1 \sim \text{Exp}(1)$，CDF是$1-e^{-u}=(1-e{-u})^1$，成立。
• 归纳假设：假设对于$n=k$，$Z_k=X_1+\dots+X_k$的CDF是$F_{Z_k}(u)=(1-e^{-u})k$。
• 归纳步骤：对于$n=k+1$，$Z_{k+1}=Z_k+X_{k+1}$，其中$X_{k+1}\sim\text{Exp}(k+1)$且独立于$Z_k$。根据卷积公式，CDF为：
  $$F_{Z_{k+1}}(u) = \int_0^u F_{Z_k}(u-t) f_{X_{k+1}}(t) dt$$
  代入归纳假设和$X_{k+1}$的密度$f_{X_{k+1}}(t)=(k+1)e^{{-(k+1)t}$，展开后通过代数变形，最终能得到$F_{Z_{k+1}}(u)=(1-e}{-u})^{k+1}$，归纳成立。

对CDF求导：$f_Z(u)=\frac{d}{du}(1-e^{-u})n = n e^{-u}(1-e{-u})^{n-1}$，正好就是题目给出的密度。

额外的概率小洞察 #

你可能会注意到$(1-e^{-u})n$看起来像$n$个独立事件同时发生的概率——其实这个CDF对应的分布，也可以理解为：取$n$个独立的Uniform(0,1)变量$U_1,\dots,U_n$，令$T = \max{U_1,\dots,U_n}$，再做变换$Z = -\ln(1-T)$，这样$Z$的CDF就是$\mathbb{P}(Z\leq u)=\mathbb{P}(T\leq 1-e^{-u})=(1-e{-u})^n$，和我们的结果一致！这也从另一个角度验证了分布的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CampFire