预测迭代加权平均达到指定精度所需的迭代次数

开发者阿泽

2026-5-25

预测加权迭代逼近目标值的停止次数

首先我们来拆解这个问题：这段Python代码通过加权平均迭代让x逐步逼近target，当x与target的差值小于**初始差值的1%**时停止，我们可以通过数学推导来计算需要多少次迭代才能满足这个条件。

代码回顾

x = start = 1.0
target = 0.1
coeff = 0.999
for c in range(100000):
    print('{:5d} {:f}'.format(c, x))
    if abs(target - x) < abs((x - start) * 0.01):
        break
    x = x * coeff + target * (1 - coeff)

数学推导过程

要计算迭代次数，我们先分析差值的变化规律：

初始差值与阈值：初始时x=start=1.0，与target=0.1的差值为d₀ = 1.0 - 0.1 = 0.9，停止条件要求差值小于初始差值的1%，也就是阈值为0.9 * 0.01 = 0.009。
迭代差值的规律：设第n次迭代后x与target的差值为dₙ = xₙ - target，代入迭代公式推导：
```
xₙ₊₁ = coeff * xₙ + target*(1 - coeff)
dₙ₊₁ = xₙ₊₁ - target = coeff*xₙ + target*(1-coeff) - target = coeff*(xₙ - target) = coeff * dₙ
```
可以看到，差值是一个等比数列，每次迭代都乘以coeff，即dₙ = d₀ * coeffⁿ。
求解迭代次数：我们需要|dₙ| < 0.009，代入差值表达式后化简：
```
0.9 * (0.999)ⁿ < 0.009
(0.999)ⁿ < 0.01
```
对两边取自然对数（注意0.999 < 1，取对数后不等号方向反转）：
```
n > ln(0.01) / ln(0.999)
```
代入数值计算：ln(0.01) ≈ -4.60517，ln(0.999) ≈ -0.0010005，因此：
```
n ≈ (-4.60517) / (-0.0010005) ≈ 4602.9
```
因为迭代次数必须是整数，且第4602次迭代后差值仍略大于阈值，所以需要4603次迭代才能满足停止条件。