关于取值于H¹(Ω)的波赫纳可测函数绝对值的波赫纳可测性证明问询

假设我们有一个波赫纳可测函数 $u:[a,b]\to H^1(\Omega)$，我们定义如下函数：
$$|u|:[a,b]\to H^1(\Omega),\ |u|(t)=|u(t,\cdot)|\in H^1(\Omega)$$

这里用到了一个大家熟知的结论：索伯列夫函数的绝对值仍然是索伯列夫函数（相关严谨结论可以参考索伯列夫空间相关教材里的对应定理与注记）。

现在我遇到了一个问题：如何证明$|u|:[a,b]\to H^1(\Omega)$是波赫纳可测的？

我自己尝试了这样的思路：取一列简单函数 $s_n:[a,b]\to H^1(\Omega)$，使得对几乎所有的 $t\in(a,b)$，$s_n(t)$ 在 $H^1(\Omega)$ 中收敛到 $u(t)$。我已经证明了对几乎所有的 $t$，$|s_n(t)|$ 在……（此处原文内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bogdan