如何确定ℝ³上值域为平面x+y+z=0的线性变换中T(e₃)对应的向量

嘿，我来帮你捋清楚这个问题~

首先咱们先明确核心前提：你要找的线性变换$T$的值域刚好是平面$x+y+z=0$，也就是说$T$把$\mathbb{R}^3$里的所有向量都映射到这个平面上，而且平面里的每一个向量都能被$T$映射到（值域不会是平面的某个子集）。

你已经找到了$T(e_1)=(1,-1,0)$和$T(e_2)=(1,0,-1)$，这两个向量都满足平面方程（代入验证：$1+(-1)+0=0$，$1+0+(-1)=0$），而且它们是线性无关的——你可以简单验证：假设存在实数$k_1,k_2$使得$k_1(1,-1,0)+k_2(1,0,-1)=(0,0,0)$，会得到方程组$k_1+k_2=0$，$-k_1=0$，$-k_2=0$，只有$k_1=k_2=0$这一组解，所以这两个向量已经能张成整个$x+y+z=0$平面（毕竟平面是二维空间，两个线性无关的向量就足够张成它）。

那现在找$T(e_3)=v$的向量$v$，只需要满足一个关键条件：

• $v$必须在平面$x+y+z=0$内，也就是如果$v=(a,b,c)$，那么$a+b+c=0$。

为什么呢？因为线性变换的基向量的像必须落在值域空间里，而前两个像已经张成了整个目标平面，所以不管$v$是平面里的哪一个向量，$T$的值域都会是这个平面——哪怕$v$是前两个向量的线性组合也没关系。

举几个简单的例子：

• 你可以选最简单的$v=(0,1,-1)$（满足$0+1+(-1)=0$）；
• 也可以选$v=(-1,1,0)$，或者甚至$v=(0,0,0)$（不过这种情况$T$的秩还是2，值域依然是目标平面）；
• 要是想选一个非平凡的组合，比如$v=2T(e_1)+3T(e_2)=(5,-2,-3)$，代入平面方程$5+(-2)+(-3)=0$，也完全符合要求。

如果把$T(e_3)=(0,1,-1)$代入，这个线性变换对应的矩阵就是：

[1  1  0]
[-1 0  1]
[0 -1 -1]

你可以验证一下，这个矩阵的列空间就是$x+y+z=0$的平面，完全符合你的需求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mvfs314